Ok, mal sehen, ob ich helfen kann...
1. Ehrlich gesagt, hätte ich erst gedacht, dass mit Anzahl und Vielfachheit ein und dasselbe gemeint ist. Hab mich aber eben bei Wikipedia erkundigt, dass unter Vielfachheit zu verstehen ist, ob die erste Ableitung (und deren Ableitungen...) Nullstellen mit genau derselben Lage besitzen. Ich weiß nicht, ob du das mit den Ableitungen von Funktionen schon im Unterricht hattest. Wenn nein, musst du nur den Anstieg der Funktion an den Nullstellen überprüfen. Wenn der Anstieg m=0 ist, dann ists eine mehrfache Nullstelle, ansonsten eben eine einfache...
2. Ich würde dir einfach mal empfehlen, die Funktion mit verschiedenen Werten von t einfach mal zu zeichnen. Setz doch einfach mal t=1, t=0 und t=-1, zeichne die Funktionen und schau, wie der ganze Spaß dann aussieht...
3. Der Unterschied zwischen Diskriminante und Fallunterscheidung: Die Fallunterscheidung machst du, indem du dir die Diskriminante (ein besonderer Term in deiner Lösung - bspw. der Wert unter einer Wurzel) hernimmst und guckst, welche Werte diese annehmen muss, damit dein gesamter Term lösbar ist oder nicht. Zum Beispiel, wenn du einen Wert unter einer Wurzel untersuchst, dann setzt du einfach mal das Ganze gleich 0, da ja die Wurzelbasis bekanntlich keinen negativen Wert haben sollte...
Jetzt zur Aufgabe:
Als erstes würde ich einfach mal die Nullstellen ausrechnen. Dafür ist es egal, welchen Wert t nun hat und lassen dieses unverändert.
Soll heißen: f
t(x) = 2x
2 + 4x - 3t = 0
Das wird jetzt mehr doer weniger einfach nach x umgestellt (Wenn du nen CAS-fähigen Taschenrechner hast, sollte das ja kein Problem sein).
Nun müsstest du insgesamt zwei Terme für deine Nullstellen haben - beide mit einer wunderschönen Wurzel. Hier setzt du also, wie oben schon gesagt, eben deine Diskriminante D (der Wert unter der Wurzel) gleich 0 (D=0) und stellst dann diese Gleichung nach t um. Nun überprüfst du noch, bei welchen Werten D>0 ist und bei welchen D<0 ist (indem du einfach mal in dein eben berechnetes t nochmals hernimmst und einen kleineren bzw. größeren Wert als diesen in t einsetzt...).
Prinzipiell gilt hier für die Anzahl der Nullstellen: Wenn D>0, dann hast du 2 Nullstellen. Wenn D=0, dann eine Nullstelle. Und wenn D<0, dann hast du keine Nullstelle.
Wie du die Vielfachheit herausbekommst, hab ich ja oben schon geschrieben - indem du den Anstieg an der Nullstelle betrachtest.
Und die Lage ist letztendlich einfach nur die Angabe der Punkte in der Koordinatenform. Also, P
t(x
0 | 0 ) - eben für jede Nullstelle einzeln...
Hoffe, dass das jetzt einigermaßen nachvollziehbar war und ich dich nicht noch mehr verwirrt habe...